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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 2 - Sucesiones y límites

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4. Decida cuáles de las siguientes sucesiones son monótonas crecientes, monótonas decrecientes y cuáles de ellas no tienen ninguna propiedad de monotonía.
VI) fn=(23)nf_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

Respuesta

Como 23\frac{2}{3} es menor a 11, esta sucesión va a tender a cero en infinito y va a terminar siendo monótona decreciente. Para justificarlo un poco mejor, planteamos que fn+1≤fnf_{n+1} \leq f_n y veamos cuándo se cumple esto:

(23)n+1≤ (23)n(\frac{2}{3})^{n+1} \leq (\frac{2}{3})^n

(23)n⋅23≤ (23)n(\frac{2}{3})^n \cdot \frac{2}{3} \leq (\frac{2}{3})^n

 23≤1 \frac{2}{3} \leq 1

Y esta relación se cumple siempre, así que para todo nn vale que fn+1≤fnf_{n+1} \leq f_n y nuestra sucesión efectivamente es monótona decreciente. 
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